Cho tập \[S = \{ 1,2, \ldots ,19,20\} \]

gồm 20 số tự nhiên từ \(1\) đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc \(S\).

Tính xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng} .

Phương pháp giải:

Giả sử ba số a,b,c (theo thứ tự) lập thành cấp số cộng thì:

                                                                            \[a + c = 2b.\]

Xét tính chẵn lẻ của a,c để đếm số cách chọn.

Giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu là:

                                    \[n(\Omega ) = \left( \begin{array}{c}20\\3\end{array} \right).\]

Gọi \(A\) là biến cố: ``ba số lấy được lập thành cấp số cộng''.

Giả sử $a,b,c$ là ba số lập thành cấp số cộng, khi đó:

                                                                            \[a + c = 2b,\]

nên \(a + c\) là số chẵn, suy ra \(a\) và \(c\)cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

TH1. a,c đều là số chẵn.

Trong \(S\) có 10 số chẵn \( \Rightarrow \) số cách chọn a,c là \(\left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)\).

TH2. a,c đều là số lẻ.

Trong \(S\) có 10 số lẻ \( \Rightarrow \) số cách chọn a,c là \(\left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)\).

Với mỗi cặp \((a,c)\) thỏa mãn, tồn tại duy nhất một số \(b = \frac{{a + c}}{2}\).

Do đó: \[n(A) = \left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right) = 90.\]

Xác suất cần tìm là: \[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{\left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)}}{{\left( \begin{array}{c}20\\3\end{array} \right)}} = \frac{{90}}{{1140}} = \frac{3}{{38}}.\]

Chọn C.