Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Chèn điểm vào vectơ và sử dụng tính chất tích vô hướng.
Giải chi tiết:
Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) nên:
\[AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0.\]
Ta có:
\[T = (\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} ) \cdot (\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} ).\]
Biến đổi:
\[T = [(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} ) + 2(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} )] \cdot (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} ) = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {DC} ) \cdot \overrightarrow {CB} .\]
Do:
\[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} ,\quad \overrightarrow {MD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} ,\quad \overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\]
nên:
\[T = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ) = (2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\]
Suy ra:
\[T = A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - A{D^2} = A{B^2} - A{D^2}.\]
Vì:
\[AB = 6a,\quad AD = \frac{1}{2}AB = 3a,\]
nên:
\[T = {(6a)^2} - {(3a)^2} = 36{a^2} - 9{a^2} = 27{a^2}.\]
Vậy \(T = 27{a^2}\). Chọn C.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập