Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình sin x.cos x - m(sin x + cos x) + 1 = 0 có nghiệm là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Đặt \(t = \sin x + \cos x\) để đưa phương trình về dạng bậc hai theo \(t\), sau đó xét điều kiện tồn tại nghiệm.
Giải chi tiết:
Đặt:
\[t = \sin x + \cos x\quad \Rightarrow \quad - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .\]
Ta có:
\[\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}.\]
Phương trình đã cho trở thành:
\[\frac{{{t^2} - 1}}{2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 1 = 0.{\rm{ }}*\]
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình \((*)\) phải có nghiệm \(t\) thuộc đoạn \([ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]\).
Xét các trường hợp
1. Phương trình \((*)\) có nghiệm kép:
\[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.\]
Với \(m = \pm 1\) thì nghiệm \(t = m\) thỏa mãn \(|t| \le \sqrt 2 \), nên phương trình có nghiệm.
2. Phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt:
\[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow |m| > 1.\]
Khi đó cần:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f( - \sqrt 2 ) \le 0,}\\{f(\sqrt 2 ) \le 0,}\end{array}} \right.\]
trong đó \(f(t) = {t^2} - 2mt + 1\).
Tính được:
\[f( - \sqrt 2 ) = 3 + 2m\sqrt 2 ,\qquad f(\sqrt 2 ) = 3 - 2m\sqrt 2 .\]
Điều kiện tương đương:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + 2m\sqrt 2 \le 0,}\\{3 - 2m\sqrt 2 \le 0,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}.\]
Kết hợp với \(|m| > 1\) suy ra:
\[ - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m \le - 1\quad {\rm{ho?c}}\quad 1 \le m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}.\]
Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là:
\[m = - 1,\;0,\;1.\]
Tổng các giá trị nguyên đó là:
\[ - 1 + 0 + 1 = 0.\]
Chọn A.
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập