Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình căn bậc ba 25x ( 2x^2 + 9 ) lớn hơn bằng 4 + 3/x
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh VP ≤ ≤ VT.
Giải chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[4x + \frac{3}{x} = \frac{5}{3}x + \frac{5}{3}x + \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{5}{3}x \cdot \frac{5}{3}x \cdot \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}}} = \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}}.\]
Dấu “=” xảy ra khi:
\[\frac{5}{3}x = \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \Leftrightarrow 5{x^2} = 2{x^2} + 9 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .\]
Suy ra:
\[4x + \frac{3}{x} \ge \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x > 0,\]
nên bất phương trình đã cho \textbf{không có nghiệm với \(x > 0\)}.
Xét \(x < 0\).
Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
\[ - 4x - \frac{3}{x} \ge \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x < 0,\]
nên:
\[4x + \frac{3}{x} \le \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x < 0.\]
Bất phương trình đúng với mọi \(x < 0\) nhưng không có nghiệm nguyên dương.
Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: \[0.\]
Chọn A.Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập