Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ.

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m \in [ - 5;5]\) để hàm số \[g(x) = f(x + m)\] nghịch biến trên khoảng \((1;2)\).

Tập hợp \(S\) có bao nhiêu phần tử?

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(g'(x) = 0\), lập bảng biến thiên của \(g(x)\) dựa vào đồ thị \(y = f'(x)\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                                                                       \[g'(x) = f'(x + m).\]

Từ đồ thị \(y = f'(x)\) suy ra:

                    \[f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ - 1,{\mkern 1mu} 1,{\mkern 1mu} 3\} .\]

Do đó:

     \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + m = - 1,}\\{x + m = 1,}\\{x + m = 3,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - m - 1,}\\{x = - m + 1,}\\{x = - m + 3.}\end{array}} \right.\]

Bảng xét dấu của \(g'(x)\) có dạng:

Hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;2)\) khi:

  \[(1;2) \subset ( - m + 1;{\mkern 1mu} - m + 3)\quad {\rm{ho?c}}\quad (1;2) \subset ( - \infty ;{\mkern 1mu} - m - 1).\]

Xét từng trường hợp:

TH1.

                                \[1 > - m + 1\;{\rm{v\`a }}\;2 < - m + 3 \Leftrightarrow m \le - 3.\]

TH2.

                                                         \[1 < - m - 1 \Leftrightarrow m < 0.\]

Kết hợp với điều kiện \(m \in [ - 5;5]\), ta được:

                                                                 \[S = \{ - 5, - 4, - 3,0,1\} .\]

Suy ra:

                                                                               \[|S| = 5.\]

Vậy tập hợp \(S\) có \(5\) phần tử.