Cho đa thức \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m \in [ - 10;10]\) để hàm số \[y = f({x^2} - 2|x| + m)\] có đúng \(9\) điểm cực trị bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: hàm \(g(|x|)\) có \(9\) điểm cực trị khi và chỉ khi hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương.

Giải chi tiết:

Xét hàm:

      \[g(x) = f({x^2} - 2x + m)\quad \Rightarrow \quad y = f({x^2} - 2|x| + m) = g(|x|).\]

Hàm \(g(|x|)\) có đúng \(9\) điểm cực trị khi và chỉ khi hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương.

Từ đồ thị \(y = f'(x)\) suy ra:

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ - 2, - 1,1,2\} ,\] trong đó \(x = 2\) là nghiệm bội chẵn.

Ta có:

                                              \[g'(x) = 2(x - 1){\mkern 1mu} f'({x^2} - 2x + m).\]

Suy ra:

     \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{f'({x^2} - 2x + m) = 0.}\end{array}} \right.\]

Tức là:

                                                          \[{x^2} - 2x + m \in \{ - 2, - 1,1\} \]

(loại giá trị \(2\) do là nghiệm bội chẵn).

Do đó ta xét các phương trình:

            \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2x + m = - 2,}\\{{x^2} - 2x + m = - 1,}\\{{x^2} - 2x + m = 1.}\end{array}} \right.\]

Hay tương đương:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m = {x^2} - 2x + 2,}\\{ - m = {x^2} - 2x + 1,}\\{ - m = {x^2} - 2x - 1.}\end{array}} \right.{\rm{ }}*\]

Hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương khi và chỉ khi hệ \((*)\) có đúng \(3\) nghiệm (kể cả nghiệm bội)

dương khác \(1\).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng \(y = - m\) cắt ba parabol

\[({P_1}):y = {x^2} - 2x + 2,\quad ({P_2}):y = {x^2} - 2x + 1,\quad ({P_3}):y = {x^2} - 2x - 1\] trong đúng \(3\) điểm có hoành độ dương.

Từ hình vẽ, suy ra các giá trị nguyên của \(m \in [ - 10;10]\) thỏa mãn là:

                                             \[m \in \{ - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1,0,1\} .\]

Tổng các giá trị đó là:

                                                \[ - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 = - 54.\]

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) là \( - 54\).