Cho đa thức f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m thuộc [ - 10;10] để hàm số y = f(x^2 - 2|x| + m) có đúng 9 điểm cực trị bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: hàm \(g(|x|)\) có \(9\) điểm cực trị khi và chỉ khi hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương.
Giải chi tiết:
Xét hàm:
\[g(x) = f({x^2} - 2x + m)\quad \Rightarrow \quad y = f({x^2} - 2|x| + m) = g(|x|).\]
Hàm \(g(|x|)\) có đúng \(9\) điểm cực trị khi và chỉ khi hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương.
Từ đồ thị \(y = f'(x)\) suy ra:
\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ - 2, - 1,1,2\} ,\] trong đó \(x = 2\) là nghiệm bội chẵn.
Ta có:
\[g'(x) = 2(x - 1){\mkern 1mu} f'({x^2} - 2x + m).\]
Suy ra:
\[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{f'({x^2} - 2x + m) = 0.}\end{array}} \right.\]
Tức là:
\[{x^2} - 2x + m \in \{ - 2, - 1,1\} \]
(loại giá trị \(2\) do là nghiệm bội chẵn).
Do đó ta xét các phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2x + m = - 2,}\\{{x^2} - 2x + m = - 1,}\\{{x^2} - 2x + m = 1.}\end{array}} \right.\]
Hay tương đương:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m = {x^2} - 2x + 2,}\\{ - m = {x^2} - 2x + 1,}\\{ - m = {x^2} - 2x - 1.}\end{array}} \right.{\rm{ }}*\]
Hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương khi và chỉ khi hệ \((*)\) có đúng \(3\) nghiệm (kể cả nghiệm bội)
dương khác \(1\).
Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng \(y = - m\) cắt ba parabol
\[({P_1}):y = {x^2} - 2x + 2,\quad ({P_2}):y = {x^2} - 2x + 1,\quad ({P_3}):y = {x^2} - 2x - 1\] trong đúng \(3\) điểm có hoành độ dương.
Từ hình vẽ, suy ra các giá trị nguyên của \(m \in [ - 10;10]\) thỏa mãn là:
\[m \in \{ - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1,0,1\} .\]
Tổng các giá trị đó là:
\[ - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 = - 54.\]
Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) là \( - 54\).
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập