Có bao nhiêu số nguyên \(m\) sao cho bất phương trình

                                                 \[({\log _2}x - m)({x^2} - mx) < 0\]

có ít nhất \(1\) nghiệm nguyên và có không quá $100$ nghiệm nguyên?

Phương pháp giải:

Xét dấu và giải bất phương trình theo tham số \(m\).

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định:

                                                                       \[x > 0.\]

Xét phương trình:

                                                 \[({\log _2}x - m)({x^2} - mx) = 0\]

   \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}x = m \Rightarrow x = {2^m},}\\{{x^2} - mx = 0 \Rightarrow x = 0{\rm{ ho?c }}x = m.}\end{array}} \right.\]

Do \(x > 0\) nên xét các nghiệm \(x = {2^m}\) và \(x = m\).

Xét hàm \(g(x) = {2^x} - x\).

Ta có:

                                                          \[g'(x) = {2^x}\ln 2 - 1.\]

Phương trình \(g'(x) = 0\) có nghiệm duy nhất

\(x = - {\log _2}(\ln 2) \approx 0,91\),

và \(g(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Suy ra:

                                            \[{2^m} > m,\;\forall m \in \mathbb{R}.\]

Xét các trường hợp của \(m\) và đếm số nghiệm nguyên của bất phương trình,

ta thu được có đúng \(5\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: B.