Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A( - 2;6;3)\), \(B(1;0;6)\), \(C(0;2; - 1)\), \(D(1;4;0)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD 

Phương pháp giải: Liệt kê các kết quả xảy ra

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Omega = \{ SS,SN,NS,NN\} \Rightarrow n(\Omega ) = 4\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai lần đều là mặt sấp”. \( \Rightarrow A = \{ SS\} \).

Gọi \(B\) là biến cố: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp”

\( \Rightarrow B = \{ SN,SS\} \Rightarrow n(B) = 2 \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Khi đó: \(A \cap B = \{ SS\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1 \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{4}\).

Vậy xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp biết rằng lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp là:

\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Sison.

Giải chi tiết:

    \[{\rm{Ta c\'o }}\frac{{{V_{EBQP}}}}{{{V_{EBMN}}}} = \frac{{EB}}{{EB'}} \cdot \frac{{EQ}}{{EM}} \cdot \frac{{EP}}{{EN}}.\]

Dễ thấy

                        \[\frac{{EB}}{{EB'}} = \frac{{EQ}}{{EM}} = \frac{{BQ}}{{BM}} = \frac{{EB}}{{EB'}} = \frac{{EP}}{{EN}} = \frac{{BP}}{{BN}},\]

do đó

                \[\frac{{{V_{EBQP}}}}{{{V_{EBMN}}}} = {\left( {\frac{{BP}}{{BN}}} \right)^3} = \frac{1}{{27}}.\]

Suy ra

                                                         \[{V_{BMN,BQP}} = \frac{{26}}{{27}}{V_{EBMN}}\qquad (*)\]

Mặt khác

                 \[\frac{{{V_{EBMN}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{EB'}}{{BB'}} \cdot \frac{{B'M}}{{B'A'}} \cdot \frac{{BN}}{{B'C'}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{{16}}.\]

Suy ra

   \[{V_{EBMN}} = \frac{3}{{16}}{V_{ABC.A'B'C'}}\qquad (**)\]

Từ \((*)\) và \((**)\) ta có

                         \[{V_{BMN,BQP}} = \frac{{26}}{{27}} \cdot \frac{3}{{16}}{V_{ABC.A'B'C'}}.\]

                       \[ \Rightarrow {V_{AQPCAMNC}} = \left( {1 - \frac{{26}}{{27}} \cdot \frac{3}{{16}}} \right){V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{59}}{3}.\]