Chọn ngẫu nhiên bốn số tự nhiên khác nhau từ 70 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để bốn số được chọn lập thành một cấp số nhân có công bội nguyên.

Phương pháp giải: Liệt kê các kết quả xảy ra

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Omega = \{ SS,SN,NS,NN\} \Rightarrow n(\Omega ) = 4\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai lần đều là mặt sấp”. \( \Rightarrow A = \{ SS\} \).

Gọi \(B\) là biến cố: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp”

\( \Rightarrow B = \{ SN,SS\} \Rightarrow n(B) = 2 \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Khi đó: \(A \cap B = \{ SS\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1 \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{4}\).

Vậy xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp biết rằng lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp là:

\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận vecto pháp tuyến làm vecto chỉ phương.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\overrightarrow {AB} = (3; - 6;3)\overrightarrow {CD} = (1;2;1){\rm{ }} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = ( - 12;0;12).\]                        

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD, chọn \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1;0; - 1)\) là véctơ pháp tuyến của \((\alpha )\).

Phương trình tổng quát \((\alpha )\):

                  \[1(x - 1) - (z - 6) = 0 \Leftrightarrow x - z + 5 = 0.\]

Đáp án cần chọn là: C