Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{3n + 1}}\). Một giá trị của \(a\) để dãy số tăng là:

Phương pháp giải: Để dãy số tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow a > 6\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a(n + 1) + 2}}{{3(n + 1) + 1}} - \frac{{an + 2}}{{3n + 1}}\)

\( = \frac{{an + a + 2}}{{3n + 4}} - \frac{{an + 2}}{{3n + 1}}\)

\( = \frac{{(an + a + 2)(3n + 1) - (an + 2)(3n + 4)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\)

\( = \frac{{3a{n^2} + an + 3an + a + 6n + 2 - (3a{n^2} + 4an + 6n + 8)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\)

\( = \frac{{a - 6}}{{(3n + 4)(3n + 1)}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Để dãy số tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\):

\(\frac{{a - 6}}{{(3n + 4)(3n + 1)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Leftrightarrow a > 6\)

Do đề bài yêu cầu chọn một giá trị của 𝑎 nên chọn A