Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}}\) (1), với \(m\) là số thực. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Phương pháp giải:

a) b) c) Thay \(m = 1\), tính đạo hàm và tìm tiệm cận hàm số.

d) Tìm 2 đường tiệm cận của hàm số có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \). Khi đó $\cos {45}^{°}=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}$

Giải chi tiết:

Khi \(m = 1 \Leftrightarrow y = x - 2 + \frac{4}{{x + 3}}\). (Đồ thị như hình vẽ bên).

d) Ta có:

\(y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}\)

Tiệm cận xiên \({d_2}\): \(y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = (m; - 1)\).

Góc giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng ${45}^{°}\iff \cos {45}^{°}=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}$

\( \Leftrightarrow \frac{{|1 \cdot m + 0 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{m^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|m|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)$

\( \Leftrightarrow 2|m| = \sqrt {2({m^2} + 1)} \)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} = 2{m^2} + 2\)$

\( \Leftrightarrow 2{m^2} = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; Đ