Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(5; - 3;2),B(2;1; - 2)\). Gọi M, N là hai điểm phân biệt thay đổi thỏa mãn \(BM = BN = 2\) và A, M, N thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = 5.AN + 2.AM\) có dạng \(7\sqrt m  - n\) với m, n là số tự nhiên. Giá trị \(m + n\) là ___

Phương pháp giải:

Nhận xét \(A\) nằm ngoài MN nên để \(S\) nhỏ nhất thì \(N\) phải nằm giữa A, M H là trung điểm MN. Khi đó \(S = 7\sqrt {A{B^2} - B{H^2}} - 3\sqrt {{R^2} - B{H^2}} \).

Tính \(S\) theo \(x\) và tính đạo hàm khảo sát tìm GTNN.

Giải chi tiết:

Ta có: M, N nằm trên mặt cầu tâm \(B\), bán kính \(R = 2\).

Do \(BA = \sqrt {41} > R = 2 \Rightarrow A\) nằm ngoài đoạn MN.

Để \(S\) nhỏ nhất thì \(N\) phải nằm giữa A, M.

Gọi \(H\) là trung điểm \(MN \Rightarrow BH \bot MN,HM = HN = \frac{1}{2}MN\).

Khi đó: \(S = 2(AH + HM) + 5(AH - NH) = 7AH - 3NH\).

\(S = 7\sqrt {A{B^2} - B{H^2}} - 3\sqrt {{R^2} - B{H^2}} = 7\sqrt {41 - {x^2}} - 3\sqrt {4 - {x^2}} \) với \(BH = x,(0 \le x < 2)\).

Xét hàm số \(f(x) = 7\sqrt {41 - {x^2}} - 3\sqrt {4 - {x^2}} ,(0 \le x < 2)\):

\(f'(x) = \frac{{ - 7x}}{{\sqrt {41 - {x^2}} }} + \frac{{3x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = x\left( {\frac{{ - 7}}{{\sqrt {41 - {x^2}} }} + \frac{3}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right).\)

Xét \(\frac{{ - 7}}{{\sqrt {41 - {x^2}} }} + \frac{3}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} > 0 \Leftrightarrow 7\sqrt {4 - {x^2}} < 3\sqrt {41 - {x^2}} \)

\( \Leftrightarrow 196 - 49{x^2} < 369 - 9{x^2} \Leftrightarrow 40{x^2} + 173 > 0\) (luôn đúng).

Suy ra \(f'(x) \ge 0,\forall x \in [0;2),f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

\( \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \([0;2)\).

Vậy \({\min _{[0;2)}}f(x) = f(0) = 7\sqrt {41} - 6 \Rightarrow m = 41,n = 6 \Rightarrow m + n = 47\).

 Đáp án cần điền là: 47