Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 5 ; − 3 ; 2 ) , B ( 2 ; 1 ; − 2 ) . Gọi M, N là hai điểm phân biệt thay đổi thỏa mãn BM = BN = 2 và A, M, N thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu th
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Nhận xét \(A\) nằm ngoài MN nên để \(S\) nhỏ nhất thì \(N\) phải nằm giữa A, M H là trung điểm MN. Khi đó \(S = 7\sqrt {A{B^2} - B{H^2}} - 3\sqrt {{R^2} - B{H^2}} \).
Tính \(S\) theo \(x\) và tính đạo hàm khảo sát tìm GTNN.
Giải chi tiết:
Ta có: M, N nằm trên mặt cầu tâm \(B\), bán kính \(R = 2\).
Do \(BA = \sqrt {41} > R = 2 \Rightarrow A\) nằm ngoài đoạn MN.
Để \(S\) nhỏ nhất thì \(N\) phải nằm giữa A, M.
Gọi \(H\) là trung điểm \(MN \Rightarrow BH \bot MN,HM = HN = \frac{1}{2}MN\).
Khi đó: \(S = 2(AH + HM) + 5(AH - NH) = 7AH - 3NH\).
\(S = 7\sqrt {A{B^2} - B{H^2}} - 3\sqrt {{R^2} - B{H^2}} = 7\sqrt {41 - {x^2}} - 3\sqrt {4 - {x^2}} \) với \(BH = x,(0 \le x < 2)\).
Xét hàm số \(f(x) = 7\sqrt {41 - {x^2}} - 3\sqrt {4 - {x^2}} ,(0 \le x < 2)\):
\(f'(x) = \frac{{ - 7x}}{{\sqrt {41 - {x^2}} }} + \frac{{3x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = x\left( {\frac{{ - 7}}{{\sqrt {41 - {x^2}} }} + \frac{3}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right).\)
Xét \(\frac{{ - 7}}{{\sqrt {41 - {x^2}} }} + \frac{3}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} > 0 \Leftrightarrow 7\sqrt {4 - {x^2}} < 3\sqrt {41 - {x^2}} \)
\( \Leftrightarrow 196 - 49{x^2} < 369 - 9{x^2} \Leftrightarrow 40{x^2} + 173 > 0\) (luôn đúng).
Suy ra \(f'(x) \ge 0,\forall x \in [0;2),f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
\( \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \([0;2)\).
Vậy \({\min _{[0;2)}}f(x) = f(0) = 7\sqrt {41} - 6 \Rightarrow m = 41,n = 6 \Rightarrow m + n = 47\).
Đáp án cần điền là: 47
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập