Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường phân giác \[BD{\rm{ }}(D \in AC).\] Từ \[D\] kẻ \[DH \bot BC.\]Gọi \[K\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\] và \[DH,{\rm{ }}I\] là trung điểm của \[KC.\]

Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) \[\Delta ABD = \Delta HBD.\]

ii) \[DC < AD.\]

iii) \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

a) Sai.

Xét tam giác \(ABC\), ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra, \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ \).

Do đó, \(\widehat {ACB} = 30^\circ \).

b) Sai.

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta EBH\), ta có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {EHB} = 90^\circ \) (gt)

\(AB = HB\) (gt)

\(EB\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta ABE = \Delta HBE\) (ch – cgv)

c) Đúng.

Có \(\Delta ABE = \Delta HBE\) (ch – cgv) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {HBE}\) (hai góc tương ứng).

Do đó, \(BE\) là phân giác của \(\widehat B\).

d) Đúng.

Xét tam giác \(KBC\) có \(CA \bot KB\) (gt), \(KH \bot BC\) (gt)

Mà \(KH\) cắt \(CA\) ở \(E\).

Do đó, \(E\) là trực tâm của tam giác \(KBC\).

Từ đây suy ra \(BE\) vuông góc với \(KC.\)

a) Đúng.

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDB\), ta có:

\(AB = BE\) (gt)

\(DB\) chung (gt)

\(\widehat {BAD} = \widehat {DEB} = 90^\circ \) (gt)

Do đó, \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv)

b) Sai.

Xét tam giác \(EDB\) vuông tại \(E\), do đó \(DC > DE\) (tính chất cạnh và góc đối diện trong tam giác)

c) Đúng.

Ta có \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv) nên \(DA = DE\).

Mà \(DC > DE\) nên \(DC > DA\).

d) Đúng.

Xét tam giác \(FBC\) có \(FD \bot BC\) tại \(E\), \(FB \bot CD\) tại \(A\).

Mà hai đường cao \(FE,CA\) cắt nhau tại \(D\).

Do đó, \(D\) là trực tâm của tam giác \(FBC\).