Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ \). Trên \(BC\) lấy điểm \(H\) sao cho \(HB = BA\), từ \(H\) kẻ \(HE\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\) \(\left( {E \in AC} \right)\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(BA\) và \(HE\)

a) Đúng.

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDB\), ta có:

\(AB = BE\) (gt)

\(DB\) chung (gt)

\(\widehat {BAD} = \widehat {DEB} = 90^\circ \) (gt)

Do đó, \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv)

b) Sai.

Xét tam giác \(EDB\) vuông tại \(E\), do đó \(DC > DE\) (tính chất cạnh và góc đối diện trong tam giác)

c) Đúng.

Ta có \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv) nên \(DA = DE\).

Mà \(DC > DE\) nên \(DC > DA\).

d) Đúng.

Xét tam giác \(FBC\) có \(FD \bot BC\) tại \(E\), \(FB \bot CD\) tại \(A\).

Mà hai đường cao \(FE,CA\) cắt nhau tại \(D\).

Do đó, \(D\) là trực tâm của tam giác \(FBC\).

a) Đúng.

Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

b) Đúng.

Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét tam giác \(BAM\) ta có

\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)\)

Xét tam giác \(BCE\) ta có

\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

b) Sai.

Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có

\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

d) Đúng.

Vì \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (cmt)

Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).