Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Biết \(AM \bot BC,\)lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\).

Khi đó:

Đáp án: 2

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ \)

\[BD\] là cạnh chung

\(\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\) (do \[BD\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).

Do đó \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (câu a) suy ra \[AD = HD\] (hai cạnh tương ứng).

Xét \[\Delta DHC\] vuông tại \[H\] có \[DC\] là cạnh huyền nên \[DC\] là cạnh lớn nhất.

Do đó \[DC > HD\] nên \[DC > AD.\]

c) Xét \[\Delta BKC\] có \[CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC\] và \[CA\] cắt \[KH\] tại \[D.\]

Do đó \[D\] là trực tâm của \[\Delta BKC\], nên \[BD \bot KC\].      (1)

Gọi \[J\] là giao điểm của \[BD\] và \[KC.\]

Xét \[\Delta BKJ\] và \[\Delta BCJ\] có:

\(\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ \),

\[BJ\] là cạnh chung,

\(\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}\) (do \[BJ\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).

Do đó \[\Delta BKJ = \Delta BCJ\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \[KJ = CJ\] (hai cạnh tương ứng).

Hay \[J\] là trung điểm của \[KC.\]

Mà theo bài \[I\] là trung điểm của \[KC\] nên I và \[J\] trùng nhau.

Do đó ba điểm \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.

Do đó, khẳng định i) và iii) là đúng.