Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - (ax + b)} \right) = 0\) với \(a,b \in \mathbb{R}\). Tính \(a + 4b\) ta được: 

Giải chi tiết:

Ta có:

  \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - (ax + b)} \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - ax} \right) - b} \right] = 0\]

Nhân liên hợp cho biểu thức trong ngoặc:

        \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{4{x^2} - 3x + 1 - {a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax}} - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{(4 - {a^2}){x^2} - 3x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax}} - b} \right) = 0\]

Để giới hạn trên bằng \(0\) khi \(x \to + \infty \), bậc của tử số không được lớn hơn bậc của mẫu số.

Hệ số của \({x^2}\) phải triệt tiêu: \(4 - {a^2} = 0 \Rightarrow a = 2\) (do \(x \to + \infty \) nên \(a\) phải dương để mẫu số xác định).

Khi đó giới hạn trở thành:   

  \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 3x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + 2x}} - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt 4 + 2}} - b = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{4} - b = 0 \Rightarrow b = - \frac{3}{4}\]

Vậy ta có hệ tham số:

                     \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = - \frac{3}{4}}\end{array}} \right.\]

Tính giá trị biểu thức: \(a + 4b = 2 + 4\left( { - \frac{3}{4}} \right) = 2 - 3 = - 1\).

Đáp án cần chọn là: A