Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 4x + m + 2 + 3\sqrt {{x^2} - 4x} }}{{\sqrt {{x^2} - 4x} + 2}}\] nghịch biến trên khoảng \(( - 4;0)\)?

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \), khảo sát hàm \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) để tìm khoảng giá trị

của \(t\) theo \(x\) và biến đổi hàm số ban đầu theo \(m\) và khảo sát.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) thì

  \[t' = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} < 0\quad \forall x \in ( - 4;0)\]

suy ra \(t\) nghịch biến trên \(( - 4;0)\), do đó

  \[t \in (0;4\sqrt 2 )\]

Khi đó bài toán trở thành tìm \(m\) nguyên dương để hàm số

  \[g(t) = \frac{{{t^2} + 3t + m + 2}}{{t + 2}}\]

đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\).

Ta có:

  \[g'(t) = \frac{{{t^2} + 4t + 4 - m}}{{{{(t + 2)}^2}}}\]

Cho \(g'(t) = 0\):

  \[{t^2} + 4t + 4 - m = 0 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} = m\]

Do \(m > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

  \[t = - 2 \pm \sqrt m \]

Suy ra hàm số \(g(t)\) đồng biến trên:

  \[( - \infty ; - 2 - \sqrt m ) \cup ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\]

Để \(g(t)\) đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\) thì:

  \[(0;4\sqrt 2 ) \subset ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\]

  \[ \Rightarrow - 2 + \sqrt m < 0 \Leftrightarrow \sqrt m < 2\]

  \[ \Rightarrow m < 4\]

Kết luận. Số giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn là 4

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Hàm số nghịch biến khi \(y' < 0.\) Với tham số, thường đặt ẩn phụ để đưa về dạng đone giản rồi xét dấu đạo hàm.

·        Đếm số giá trị nguyên dương thỏa điều kiện bằng cách giải bất phương trình đạo hàm \( < \;0\) trên khoảng cho trước.