Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = (x^2 - 4x + m + 2 + 3căn bậc hai (x^2 - 4x))/(Căn bậc hai (x^2-4x) + 2)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \), khảo sát hàm \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) để tìm khoảng giá trị
của \(t\) theo \(x\) và biến đổi hàm số ban đầu theo \(m\) và khảo sát.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) thì
\[t' = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} < 0\quad \forall x \in ( - 4;0)\]
suy ra \(t\) nghịch biến trên \(( - 4;0)\), do đó
\[t \in (0;4\sqrt 2 )\]
Khi đó bài toán trở thành tìm \(m\) nguyên dương để hàm số
\[g(t) = \frac{{{t^2} + 3t + m + 2}}{{t + 2}}\]
đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\).
Ta có:
\[g'(t) = \frac{{{t^2} + 4t + 4 - m}}{{{{(t + 2)}^2}}}\]
Cho \(g'(t) = 0\):
\[{t^2} + 4t + 4 - m = 0 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} = m\]
Do \(m > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[t = - 2 \pm \sqrt m \]
Suy ra hàm số \(g(t)\) đồng biến trên:
\[( - \infty ; - 2 - \sqrt m ) \cup ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\]
Để \(g(t)\) đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\) thì:
\[(0;4\sqrt 2 ) \subset ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\]
\[ \Rightarrow - 2 + \sqrt m < 0 \Leftrightarrow \sqrt m < 2\]
\[ \Rightarrow m < 4\]
Kết luận. Số giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn là 4
Mở rộng:
· Công thức tổng quát: Hàm số nghịch biến khi \(y' < 0.\) Với tham số, thường đặt ẩn phụ để đưa về dạng đone giản rồi xét dấu đạo hàm.
· Đếm số giá trị nguyên dương thỏa điều kiện bằng cách giải bất phương trình đạo hàm \( < \;0\) trên khoảng cho trước.
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập