Cho

  \[f(x) =  - {x^3} + 3x,\qquad g(x) = \left| {f(2 + \sin x) + m} \right|\]

với \(m\) là tham số thực. Gọi \(S\) là tập các giá trị của \(m\) sao cho \[{\max _\mathbb{R}}g(x) + {\min _\mathbb{R}}g(x) = 50\]

Tính tổng các phần tử của \(S\).

Phương pháp giải:

Đặt \(t = 2 + \sin x\), khảo sát hàm theo biến \(t\) và xét các trường hợp của \(m\).

Giải chi tiết:

Đặt:

  \[t = 2 + \sin x \in [1,3]\]

Khi đó:

  \[g(t) = |{t^3} - 3t - m|,\quad t \in [1,3]\]

Xét hàm:

  \[y = {t^3} - 3t - m \Rightarrow y' = 3{t^2} - 3 \ge 0,\;\forall t \in [1,3]\]

Suy ra \(y\) đồng biến trên [1,3].

  \[y(1) =  - m - 2,\quad y(3) = 18 - m\]

Do đó:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\max g(t) = \max \{ | - m - 2|,\;|18 - m|\} }\\{\min g(t) = \min \{ | - m - 2|,\;|18 - m|\} }\end{array}} \right.\]

Xét các trường hợp

TH1: \(m <  - 2\)

  \[( - m - 2) + (18 - m) = 50 \Rightarrow m =  - 17\]

TH2: \(m > 18\)

  \[(m + 2) + (m - 18) = 50 \Rightarrow m = 33\]

TH3: \( - 2 \le m \le 18\) thì

  \[\max g(t) < 50 \Rightarrow {\rm{lo?i}}\]

Vậy:

  \[S = \{  - 17,33\}  \Rightarrow \sum S  = 16\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Bất phương trình mũ → đặt ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm tập giá trị tham số.
• Sau khi tìm tập giá trị, cộng các phần tử để ra đáp án.