Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 3 - 2\cos 2x - {\cos ^2}2x\] lần lượt là M, m. Tính giá trị biểu thức: \[2024M + 2025m.\]

Phương pháp giải

Tìm giá trị lớn nhất (GTNN) và giá trị nhỏ nhất (GTLN) của hàm số lượng giác bằng cách biến đổi đại số và sử dụng bất đẳng thức cơ bản.

Giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là:

  \[D = \mathbb{R}.\]

Ta biến đổi biểu thức:

  \[y = 3 - 2\cos 2x - {\cos ^2}2x = 4 - {(\cos 2x + 1)^2}.\]

Với mọi\(x \in \mathbb{R}\), ta có:

  \[ - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le \cos 2x + 1 \le 2 \Rightarrow 0 \le {(\cos 2x + 1)^2} \le 4.\]

Suy ra:

  \[0 \le 4 - {(\cos 2x + 1)^2} \le 4 \Rightarrow 0 \le y \le 4.\]

Do đó:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M = 4,}\\{m = 0.}\end{array}} \right.\]

\(y = 4 \Leftrightarrow {(\cos 2x + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x =  - 1\) \[ \Leftrightarrow 2x = \pi  + 2k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

\(y = 0 \Leftrightarrow {(\cos 2x + 1)^2} = 4 \Leftrightarrow \cos 2x = 1\)   

  \[ \Leftrightarrow 2x = 2k\pi  \Leftrightarrow x = k\pi ,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Cuối cùng:

  \[2024M + 2025m = 2024 \cdot 4 + 2025 \cdot 0 = 8096.\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: GTLN/GTTN của hàm lượng giác → biến đổi biểu thức, dùng bất đẳng thức cơ bản.
• Sau khi tìm M và m, thay vào biểu thức yêu cầu để tính giá trị.