Cho hàm số\(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ.

Biết rằng hàm số đạt cực trị tại các điểm \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn

  \[{x_3} = {x_1} + 2,\quad f({x_1}) + f({x_3}) + \frac{2}{3}f({x_2}) = 0.\]

Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\) là diện tích các hình phẳng trong hình vẽ bên.

Phương pháp giải:

Ứng dụng tích phân.

Giải chi tiết:

Ta có:

  \[f'(x) = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  \pm \sqrt { - \frac{b}{{2a}}} }\end{array}} \right.\;(ab < 0).\]

Suy ra:

  \[{x_1} =  - 1,\;{x_2} = 0,\;{x_3} = 1.\]

Khi đó:

  \[f(x) = a({x^4} - 2{x^2}) + c.\]

Điều kiện:

  \[f( - 1) + f(1) + \frac{2}{3}f(0) = 0 \Rightarrow c = \frac{3}{4}a.\]

Do đó:

  \[f(x) = a\left( {{x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4}} \right).\]

Giải f(x)=0 được:

  \[x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }},\; \pm \sqrt {\frac{3}{2}} .\]

Tính tích phân các phần diện tích:

  \[\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}} \approx 0,6.\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Diện tích hình phẳng \( = \smallint \left| {f\left( x \right)} \right|dx\).

·        Xác định nghiệm của \(f\left( x \right) = 0\), chia miền tích phân, tính diện tích từng phần rồi cộng.