Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình sau có nghiệm: \((x\sqrt x + \sqrt {x + 12} ) \le m \cdot {\log _{5 - \sqrt {4 - x} }}3.\) 

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \in [0;4]\)

 BPT \( \Leftrightarrow f(x) = {\log _3}(5 - \sqrt {4 - x} ) \cdot (x\sqrt x + \sqrt {x + 12} ) \le m\)

BPT có nghiệm \( \Rightarrow m \ge {\min _{[0;4]}}f(x)\)

Với \(4 \ge {x_1} \ge {x_2} \ge 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_1} + 12} > {x_2}\sqrt {{x_2}} + \sqrt {{x_2} + 12} }\\{5 - \sqrt {4 - {x_1}} > 5 - \sqrt {4 - {x_2}} }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow f({x_1}) \ge f({x_2}) \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left[ {0;4} \right].\)

\( \Rightarrow {\min _{x \in [0;4]}}f(x) = f(0) = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \)

Vậy điều kiện của \(m\) để bất phương trình có nghiệm là \(m \ge 2\sqrt 3 .\)

Đáp án cần chọn là: B