Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.\) 

Giải chi tiết:

Xét khai triển \({(x + 1)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{x^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{x^{2n}} + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.\)

Cho \(x = 1,\) ta được \({2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.(1)\)

Cho \(x = - 1,\) ta được \(0 = - C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 - \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.(2)\)

Cộng \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) vế theo vế, ta được

\({2^{2n + 1}} = 2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right) \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 2 \cdot 1024 \Leftrightarrow n = 5.\)

Đáp án cần chọn là: D