Một chiếc thang được dựng lên sao cho một đầu của thang chạm mặt đất và đầu còn lại chạm vào một bức tường vuông góc với mặt đất. Để đảm bảo an toàn trong quá trình sử dụng, người ta dựng thêm một cột đỡ có chiều cao \(4m,\) song song và cách tường \(0,5m,\) và cột đỡ tiếp xúc trực tiếp với chiếc thang. Chiều dài nhỏ nhất của chiếc thang có thể là

\(\)Gọi \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)là góc tạo bởi thang và mặt đất.

Ta có \(AM = \frac{1}{{2\cos \alpha }},BM = \frac{4}{{\sin \alpha }},\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Chiều dài của thang là \(AM + BM = \frac{1}{{2\cos \alpha }} + \frac{4}{{\sin \alpha }} = f(\alpha ).\)

Ta có \(f'(\alpha ) = \frac{{ - 8{{\cos }^3}\alpha + {{\sin }^3}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha \cdot {{\cos }^2}\alpha }} = 0 \Leftrightarrow - 8{\cos ^3}\alpha + {\sin ^3}\alpha = 0 \Leftrightarrow \tan \alpha = 2 \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\\\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.\)

Vậy chiều dài nhỏ nhất của thang là \(AM + BM = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}(m).\)

Đáp án cần chọn là: D