Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(a,b,c.\) Gọi \(p\) là nửa chu vi của tam giác. Biết dãy số \(a,b,c,p\)theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác đã cho bằng:

Giải chi tiết:\(\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{b + p = 2c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{b + \frac{{a + b + c}}{2} = 2c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{5b = 4c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{4}{3}a}\\{c = \frac{5}{3}a}\end{array}} \right.\)

Vậy góc \(A\) là góc nhỏ nhất, nên \(\cos A = \frac{{{{\left( {\frac{4}{3}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{3}a} \right)}^2} - {a^2}}}{{2 \cdot \frac{4}{3}a \cdot \frac{5}{3}a}} = \frac{4}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: D