Số các số tự nhiên \(y\left( {y \le 2025} \right)\)thỏa mãn bất phương trình:

\(2 + {\log _{\sqrt 3 }}(y - 1) \le {\log _{\sqrt 3 }}[{x^2} - 2(3 + y)x + 2{y^2} + 24]\) nghiệm đúng với mọi \({\rm{ }}x \in \mathbb{R}\)là:

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 1 > 0}\\{{x^2} - 2(3 + y)x + 2{y^2} + 24 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y > 1}\\{{{(3 + y)}^2} - (2{y^2} + 24) < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow y > 1.\)

Ta có: \(2 + {\log _{\sqrt 3 }}(y - 1) \le {\log _{\sqrt 3 }}[{x^2} - 2(3 + y)x + 2{y^2} + 24]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}[3(y - 1)] \le {\log _{\sqrt 3 }}[{x^2} - 2(3 + y)x + 2{y^2} + 24]\\ \Leftrightarrow 3(y - 1) \le {x^2} - 2(3 + y)x + 2{y^2} + 24\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2(3 + y)x + 2{y^2} - 3y + 27 \ge 0\end{array}\)

Bất phương tình đúng với mọi \({\rm{ }}x \in \mathbb{R}\)khi:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(y + 3)^2} - (2{y^2} - 3y + 27) \le 0\\ \Leftrightarrow - {y^2} + 9y - 18 \le 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le 3}\\{y \ge 6}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(y > 1\) và \(y \le 2025\) ta được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < y \le 3}\\{6 \le y \le 2025}\end{array}} \right.\)\(\)\(\)\(\)

Vậy có \(2022\) giá trị y thỏa mãn

Đáp án: \(2022.\)

Đáp án cần điền là: \(2022.\)