Cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( {1;2;3} \right),\)𝐴(1;2;3), phương trình đường trung tuyến tại đỉnh \(B\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5t}\\{y = 0}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.(t \in \mathbb{R})\), và phương trình đường cao tại đỉnh \(C\) là \(\frac{{x - 4}}{{16}} = \frac{{y + 2}}{{ - 13}} = \frac{{z - 3}}{5}.\)Phương trình đường phân giác của tam giác \(ABC\) tại đỉnh \(A\) là

Giải chi tiết:

\({\rm{Ta c\'o }}B(5b;0;1 + 4b),\)\(C(4 + 16c; - 2 - 13c;3 + 5c).\)

Lại có tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\) là\({\rm{ }}M\left( {\frac{{5 + 16c}}{2};\frac{{ - 13c}}{2};\frac{{6 + 5c}}{2}} \right).\)

Mà \(M\) thuộc đường trung tuyến tại đỉnh \(B\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{5 + 16c}}{2} = 5t}\\{\frac{{ - 13c}}{2} = 0}\\{\frac{{6 + 5c}}{2} = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow C(4; - 2;3).\)

Gọi\({\rm{ }}\vec u{\rm{ }}\)là vectơ chỉ phương của đường cao tại đỉnh \(C,\)ta có:

\(\overrightarrow {AB} \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow 16(5b - 1) - 13( - 2) + 5(4b - 2) = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Rightarrow B(0;0;1).\)

Vậy vectơ chỉ phương của đường phân giác của tam giác \(ABC\) tại đỉnh \(A\) là

\(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{|\overrightarrow {AB} |}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AC} |}} = \frac{1}{3} \cdot ( - 1; - 2; - 2) + \frac{1}{5} \cdot (3; - 4;0) = \left( {\frac{4}{{15}}; - \frac{{22}}{{15}}; - \frac{2}{3}} \right).\)

Ta chọn được một vectơ chỉ phương là \(\left( {2; - 11; - 5} \right).\)

Đáp án cần chọn là: D