Tìm m để giá trị nhỏ nhất hàm số \(f(x) = {x^2} + \frac{m}{x} + m\) trên \((0; + \infty )\) bằng \(176.\) (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ____

Giải chi tiết:

Với \(m = 0,\) hàm số \(f(x) = {x^2}\) không có giá trị nhỏ nhất trên \((0; + \infty ).\)

Với \(m < 0,\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{m}{x} = - \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + \frac{m}{x} + m} \right) = - \infty \)nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \((0; + \infty ).\)

Với \(m > 0,\) ta xét hàm số:

\(f'(x) = 2x - \frac{m}{{{x^2}}}.\)Cho  \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^3} - m}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}\)

Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là

\(f\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right) = \sqrt[3]{{\frac{{{m^2}}}{4}}} + \sqrt[3]{{2{m^2}}} + m = m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}}\)

Cho \(m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}} = 176 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{m}{2} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}} = 176 \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} - 4} \right)\left( {2{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right)}^2} + 11\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} + 44} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} = 4 \Leftrightarrow m = 128\)

Đáp án: \(128.\)