Tổng số tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{x}\) là

 

Giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = ( - \infty ;0) \cup (2; + \infty )\)

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}}} \right) = 1 + 0 = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{x}} \right) = 0\)

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}}} \right) = 1 + 0 = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{x}} \right) = 0\)

Từ đó suy ra đồ thị có đúng \(1\) tiệm cận xiên \(y = x.\)

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{x}} \right) = - \infty \)

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{x}} \right) = + \infty \)

Từ đó suy ra đồ thị có hai tiệm cận đứng \(x = 0\) và \(x = 2.\)

Đáp án cần chọn là: C