Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{m^2}{x^2} - 2mx - n}}{{2x - 6}}(m \ne 0)\) luôn là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{{2x + k}}\) khi \(m,\,\,n\) thay đổi. Giá trị của \(k\) bằng bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

Giải chi tiết:

Có \(y = \left( {\frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}} \right) + \frac{{9{m^2} - 6m - n}}{{2x - 6}},\)từ đó suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là \(y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}.\)

Tiếp tuyến tại một điểm có hoành độ \({x_o}\) của đồ thị hàm số là

\(y = \frac{2}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}}(x - {x_0}) - \frac{1}{{2{x_0} + k}} = \frac{2}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}}x - \frac{{4{x_0} + k}}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}}\)

Để đường thẳng \(y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}\) luôn là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}} = \frac{{{m^2}}}{2}}\\{\frac{{ - 4{x_0} - k}}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array}} \right.(1)\) luôn có nghiệm \({x_0} \ne \frac{{ - k}}{2}\)với mọi \(m \ne 0.\)

\((1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ \pm 1}}{m} - \frac{k}{2}}\\{\frac{{ - 4{x_0} - k}}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ \pm 1}}{m} - \frac{k}{2}}\\{\frac{{ \pm \frac{4}{m} + k}}{{\frac{4}{{{m^2}}}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ \pm 1}}{m} - \frac{k}{2}}\\{\frac{k}{4}{m^2} \pm m = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array}} \right.(2)\)

Khi đó, để \(\left( 2 \right)\) luôn có nghiệm \({x_0} \ne \frac{{ - k}}{2}\) với mọi \(m \ne 0\)thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{k}{4} = \frac{3}{2}}\\{1 = 1}\\{ - 1 = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow k = 6.\)

Đáp án: \(6.\)