Ở một thị xã, tỉ lệ mắc căn bệnh \(M\)là \(22\% .\) Chính quyền thị xã đó muốn biết danh sách những người bị mắc bệnh nên đã tổ chức xét nghiệm cho toàn bộ người dân. Tuy nhiên bộ “test” được sử dụng trong phương pháp xét nghiệm này có những sai sót nhất định:

Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ “test” cho ra kết quả dương tính là \(10\% .\) Nếu bộ “test” cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là \(70\% .\) Xác suất để bộ “test” cho ra kết quả dương tính khi xét nghiệm người bị bệnh là:

 

Giải chi tiết:

Gọi \(A\) là biến cố “Bị mắc bệnh \(M\)”, \(B\) là biến cố “Bộ test cho kết quả dương tính”.

Do xác suất bị mắc bệnh \(M\) là \(22\% \) nên \(P(A) = 0,22.\)

Từ dữ kiện “Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ test cho ra kết quả dương tính là \(10\% \)” suy ra \(P(B\mid \bar A) = 0,1.\)

Từ dữ kiện “Nếu bộ test cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là \(70\% \)” suy ra \(P(A\mid B) = 0,7.\)

Từ ba dữ kiện trên, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22}\\{P(B\mid \bar A) = 0,1}\\{P(A\mid B) = 0,7}\end{array}} \right.\)\[ \Leftrightarrow \]\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22}\\{\frac{{P(\bar AB)}}{{P(\bar A)}} = 0,1}\\{\frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = 0,7}\end{array}} \right.\)\[ \Leftrightarrow \]\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22}\\{P(\bar AB) = 0,1.P(\bar A) = 0,1.0,78 = 0,078}\\{\frac{{P(B) - P(\bar AB)}}{{P(B)}} = 0,7}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \]\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22}\\{P(\bar AB) = 0,078}\\{1 - \frac{{0,078}}{{P(B)}} = 0,7}\end{array}} \right.\)\[ \Leftrightarrow \]\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22}\\{P(\bar AB) = 0,078}\\{P(B) = 0,26}\end{array}} \right.\)

Xác suất cần tính chính là

\(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{P(B) - P(\bar AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,26 - 0,078}}{{0,22}} = 0,8273 = 82,73\% \)

Đáp án cần chọn là: B