Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 2t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Đi được \(12\) giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a = - 12\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường \(s\left( {\rm{m}} \right)\) đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? 

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} } \).

Do \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) âm nên \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1\).

Suy ra \(f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2\)

Xét phương trình \({x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|dx} = \frac{{27}}{4}\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \).

b) \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{26}}{3}\).

c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \).

d) \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} = \frac{{202\pi }}{5}\).