Một người cần làm một cái của cổng, có hình dạng một parabol bậc hai như hình vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ (mặt đất là trục Ox). Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng.

                       

Trả lời: 7

Ta có $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{x+2}{x}dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(1+\frac{2}{x}\right)dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{2}{x}dx=2+2{\left.\ln \left|x\right|\right|}_1^3=2+2\ln 3.$

Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\)

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} } \).

Do \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) âm nên \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1\).

Suy ra \(f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2\)

Xét phương trình \({x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|dx} = \frac{{27}}{4}\).