Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\).

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2}} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} \)\( = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\).

b) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}\).

c) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d:y = 3x - 2\) là nghiệm của phương trình

\({x^2} = 3x - 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

\(S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \)\(S = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx} = \frac{1}{6}\).

d) Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right)\) với \(a < b\).

Ta có \(AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {a^2}} \right)^2} = 4\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) có dạng: \(\frac{{x - a}}{{b - a}} = \frac{{y - {a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}} \Rightarrow y = \left( {a + b} \right)x - ab\).

Khi đó \(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]dx = } \left. {\left( {\frac{{a + b}}{2}{x^2} - abx - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_a^b\)

\( = \frac{{a + b}}{2}.\left( {{b^2} - {a^2}} \right) - ab\left( {b - a} \right) - \frac{{{b^3} - {a^3}}}{3}\)\( = \frac{{a + b}}{2}.\left[ {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} - ab - \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{3}} \right] = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{6}\).

Mặt khác \({\left( {b - a} \right)^2} + \left( {{b^2} - {a^2}} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {b + a} \right)}^2}} \right] = 4\)

\( \Rightarrow 4 \ge {\left( {b - a} \right)^2}\) (vì \(1 + {\left( {b + a} \right)^2} \ge 1\)) \( \Rightarrow b - a \le 2\).

Do đó \(S \le \frac{{{2^3}}}{6} \Rightarrow S \le \frac{4}{3}\).