Cho tam giác vuông \(OAB\) có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục \(Ox\) và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác \(OAB\) xung quanh trục \(Ox\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{4}\) nên \(OB:y = x.\tan \frac{\pi }{4} = x\).

Khi đó thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{x^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).

b) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{6}\) nên \(OB:y = x.\tan \frac{\pi }{6} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^a {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{9}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{9}\).

c) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \) nên \(OB:y = x.\tan \alpha \).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {x.\tan \alpha } \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}\).

ta có \(\frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1 = 5\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 5 }}\).

Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

d) Do \(\tan \alpha = \cot \alpha \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \cot \alpha .\tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \tan \alpha = \pm 1\).

Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\tan \alpha = 1\).

Theo câu c, ta có \(V = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}\) mà \(\tan \alpha = 1\) nên \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).