Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thả̉ng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + 2\).

(a) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa dộ.

(b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.

(c) Tìm phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với \(\left( d \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\) có hoành độ bằng 2.

a) Bảng giá trị:

Đồ thị \(\left( P \right)\) là một parabol qua \(O\) và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) qua hai điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right).\)

Ta vẽ được đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:

\(\frac{1}{4}{x^2} = \frac{1}{2}x + 2\)

\({x^2} - 2x - 8 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 9 = 0\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)

\(x - 1 = 3{\rm{\;}}\) hoặc \(x - 1 = - 3\)

\(x = 4\) hoặc \(x = - 2\)

Với \(x = 4\) thì \(y = 4\);

Với \(x = - 2\) thì \(y = 1\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(M\left( {4;4} \right)\) và \(N\left( { - 2;1} \right)\).

c) Đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với \(\left( d \right)\) nên có phương trình \(y = \frac{1}{2}x + b\,\,\left( {b \ne 2} \right)\).

Điểm \(A\left( {2;{y_0}} \right) \in \left( P \right)\) nên

\({y_0} = \frac{1}{4} \cdot {2^2}\) hay \({y_0} = 1.\)

Do đó \(A\left( {2\,;\,\,1} \right) \in \left( {d'} \right)\) nên

\(1 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b\) hay \(b = 0.\)

Vậy phương trình \(\left( {d'} \right):y = \frac{1}{2}x\).