Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Tự luận

a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) các điểm \[E\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right)\,;\,\,\]

\[F\left( { - 1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,O\left( {0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,F'\left( {1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,E'\left( {2\,;\,\, - 2} \right).\]

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là một parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ trên.

b) Thay \(x = - 2\,;\,\,y = 4\) vào phương trình \(y = a{x^2}\), ta được

\(4 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(4a = 4\) nên \(a = 1\).

Vậy hàm số có dạng \(y = {x^2}\).

a) Bảng giá trị:

Đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = {x^2}\) là một parabol có đỉnh \(O\) và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị \(\left( d \right)\) của hàm số \(y = 2x\) là một đường thẳng qua hai điểm \(\left( {0;0} \right)\); \(\left( {1;2} \right)\).

Ta vẽ được đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:

\({x^2} = 2x{\rm{\;}}\)

\({x^2} - 2x = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = 2\).

• Với \(x = 0\) thì \(y = 0\) nên \(O\left( {0;0} \right)\) là một giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

• Với \(x = 2\) thì \(y = 4\) nên \(A\left( {2;4} \right)\) là giao điểm thứ hai của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {2;4} \right)\).

a) Bảng giá trị:

Đồ thị \(\left( P \right)\) là một parabol qua \(O\) và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) qua hai điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right).\)

Ta vẽ được đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:

\(\frac{1}{4}{x^2} = \frac{1}{2}x + 2\)

\({x^2} - 2x - 8 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 9 = 0\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)

\(x - 1 = 3{\rm{\;}}\) hoặc \(x - 1 = - 3\)

\(x = 4\) hoặc \(x = - 2\)

Với \(x = 4\) thì \(y = 4\);

Với \(x = - 2\) thì \(y = 1\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(M\left( {4;4} \right)\) và \(N\left( { - 2;1} \right)\).

c) Đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với \(\left( d \right)\) nên có phương trình \(y = \frac{1}{2}x + b\,\,\left( {b \ne 2} \right)\).

Điểm \(A\left( {2;{y_0}} \right) \in \left( P \right)\) nên

\({y_0} = \frac{1}{4} \cdot {2^2}\) hay \({y_0} = 1.\)

Do đó \(A\left( {2\,;\,\,1} \right) \in \left( {d'} \right)\) nên

\(1 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b\) hay \(b = 0.\)

Vậy phương trình \(\left( {d'} \right):y = \frac{1}{2}x\).

a) \[ - 2{x^2} + 18 = 0\]

\[2{x^2} = 18\]

\[{x^2} = 9\]

\[x = 3\] hoặc \[x = - 3\].

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[x = 3\,;\] \[x = - 3.\]

b) \[3{x^2} - x = 0\]

\[x\left( {3x - 1} \right) = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[3x - 1 = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x = \frac{1}{3}\].

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[x = 0\]; \[x = \frac{1}{3}.\]

c) \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\)

Cách 1: Ta có \(a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.\)

Cách 2: Ta có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.\)

d) \(9{x^2} - 30x + 225 = 0\)

\(\;3{x^2} - 10x + 75 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 3 \cdot 75 = - 200 < 0\).

Do đó, phương trình vô nghiệm.

e) Cách 1: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)

\({\left( {\sqrt 5 x - 1} \right)^2} = 0\)

\(\sqrt 5 x - 1 = 0\)

\(x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Cách 2: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 5 \cdot 1 = 0\).

Do đó, phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Cách 3: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)

Ta có \(\Delta = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 0\).

Do đó, phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

f) Cách 1: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\)

\({x^2} - x - \sqrt 2 x + \sqrt 2 = 0\)

\(x\left( {x - 1} \right) - \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(x - \sqrt 2 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \sqrt 2 .\)

Cách 2: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\)

Ta có \(\Delta = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt 2 \)

\( = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} > 0\).

Vì \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = \sqrt 2 \); \({x_2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = 1\).

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 1\); \(x = \sqrt 2 .\)

g) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 9 > 0\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \sqrt 3 - 3\), \({x_2} = \sqrt 3 + 3\).

h) \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 - 1 = 0\)

Ta có: \(a = 1\,;\,\,b' = \sqrt 2 \,;\,\,c = 2\sqrt 2 - 1\,;\,\,\)

\(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - \left( {2\sqrt 2 - 1} \right) \cdot 1 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0.\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \sqrt 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1\];\({x_2} = \sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 2\sqrt 2 - 1\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = 1\,;\,\,{x_2} = 2\sqrt 2 - 1.\]

a) Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 8x\)

\(\;4{x^2} + 4x + 1 - 8x = 0\)

\(4{x^2} - 4x + 1 = 0\)

\({\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)

\(2x - 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{2}\).

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \frac{1}{2}\).

b) Ta có: \({\left( {2x - 3} \right)^2} = 11x - 19\)

\(4{x^2} - 12x + 9 - 11x + 19 = 0\)

\(4{x^2} - 23x + 28 = 0\)

Ta có \[\Delta = {\left( { - 23} \right)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 81 > 0\]

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{23 + 9}}{{2.4}} = 4;\;{x_2} = \frac{{23 - 9}}{{2.4}} = \frac{7}{4}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 4\,;\,\,{x_2} = \frac{7}{4}.\)

c) \(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15\)

\({x^2} + 3x - x - 1 - 15 = 0\)

\(3{x^2} + 2x - 16 = 0\)

Ta có \(\Delta = 4 - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 16} \right) = 196 > 0.\)

Phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = \frac{{ - 2 + 14}}{6} = 2;\;{x_2} = \frac{{ - 2 - 14}}{6} = - \frac{8}{3}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2\,;\,\,{x_2} = - \frac{8}{3}.\)

d) Ta có: \(3\left( {{x^2} - 1} \right) = 8x\)

\(3{x^2} - 3 = 8x\)

\(3{x^2} - 8x - 3 = 0\).

Ta có \(\Delta = {8^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 100 > 0.\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{8 + 6}}{6} = 3;\;{x_2} = \frac{{8 - 10}}{6} = - \frac{1}{3}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 3\,;\;\,{x_2} = - \frac{1}{3}\).

e) \(2{x^2} + 3x - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(2{x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\)

\(\;{x^2} + 6x - 2 = 0\)

Ta có \[a = 1\,;\,\,b' = 3\,;\,\,c = - 2\,;\]

\(\Delta ' = {3^2} - 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 11 > 0.\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = - 3 + \sqrt {11} ;\;{x_2} = - 3 - \sqrt {11} .\]

f) \(\sqrt 2 {x^2} + 2x = 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 - 2\)

\(\sqrt 2 {x^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + \sqrt 2 - 2 = 0\)

Ta có \(a = \sqrt 2 \,;\,\,b' = - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\,;\,\,c = \sqrt 2 - 2\,;\)

\[\Delta ' = {\left[ { - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \right]^2} - \sqrt 2 \cdot \left( {\sqrt 2 - 2} \right) = 1 > 0\]

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1}}{{\sqrt 2 }} = 1 - \sqrt 2 \); \({x_2} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) + 1}}{{\sqrt 2 }} = 1\).

a) Với \(m = 3\), ta có phương trình: \({x^2} - x + 2 = 0\) hay \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\].

Nhận thấy \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\] với mọi \[x\].

Do đó, phương trình \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\] vô nghiệm.

Vậy với \(m = 3\) thì phương trình vô nghiệm.

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} - x + m - 1 = 0\) có biệt thức \[\Delta = 0.\]

Khi đó \[{\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( {m - 1} \right) \cdot 1 = 0\] hay \[5 - 4m \ge 0\] suy ra \[m \le \frac{5}{4}.\]

Vậy với \[m \le \frac{5}{4}\] thì phương trình có nghiệm kép.

a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\].

Vậy \[m < \frac{1}{{12}};\,\,m \ne 0\] thì để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình vô nghiệm thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 < 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m > \frac{1}{{12}}.\]

Vậy \[m > \frac{1}{{12}}\] thì phương trình vô nghiệm.

c) Để phương trình có nghiệm kép thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m = \frac{1}{{12}}.\]

Vậy với \[m = \frac{1}{{12}}\] thì phương trình có nghiệm kép.

d) • Xét \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm \[x = - \frac{1}{3}\].

• Xét \[m \ne 0\], để phương trình có nghiệm thì \[\Delta \ge 0\] hay \[{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \ge 0\]

Khi đó \[ - 12m + 1 \ge 0\] nên \[m \le - \frac{1}{4}\].

Kết hợp \[m \le - \frac{1}{4}\] và \[m = 0\], ta được \[m \le - \frac{1}{4}\].

Do đó, \[m \ge - \frac{1}{4}\] thì phương trình có nghiệm.