Cho phương trình \(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình:

(a) Có hai nghiệm phân biệt.

(b) Vô nghiệm.

(c) Có nghiệm kép.

(d) Có nghiệm.

a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\].

Vậy \[m < \frac{1}{{12}};\,\,m \ne 0\] thì để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình vô nghiệm thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 < 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m > \frac{1}{{12}}.\]

Vậy \[m > \frac{1}{{12}}\] thì phương trình vô nghiệm.

c) Để phương trình có nghiệm kép thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m = \frac{1}{{12}}.\]

Vậy với \[m = \frac{1}{{12}}\] thì phương trình có nghiệm kép.

d) • Xét \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm \[x = - \frac{1}{3}\].

• Xét \[m \ne 0\], để phương trình có nghiệm thì \[\Delta \ge 0\] hay \[{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \ge 0\]

Khi đó \[ - 12m + 1 \ge 0\] nên \[m \le - \frac{1}{4}\].

Kết hợp \[m \le - \frac{1}{4}\] và \[m = 0\], ta được \[m \le - \frac{1}{4}\].

Do đó, \[m \ge - \frac{1}{4}\] thì phương trình có nghiệm.