Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\)
(a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC.\)
(b) Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M\) và cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \(K\) và \(T\) (\(K\) nằm giữa \(M\) và \(T\)). Chứng minh rằng: \(MK \cdot MT = ME \cdot MF\).
(c) Chứng minh \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\)
(a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC.\)
(b) Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M\) và cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \(K\) và \(T\) (\(K\) nằm giữa \(M\) và \(T\)). Chứng minh rằng: \(MK \cdot MT = ME \cdot MF\).
(c) Chứng minh \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\) (a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1774273202/image47.png)
a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).
b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).
Do đó .
Suy ra \(\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}\) hay \(ME \cdot MF = MB \cdot MC\).
Chứng minh tương tự với đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]
Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)
c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp (\(\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ \))
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {HCD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).
Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên \(\widehat {HCD} = \widehat {FEB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)\).
Lai có \(\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}\) (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].
Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); \(\widehat C\) chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}\) hay \(MI \cdot MD = ME.MF\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MI \cdot MD = MK \cdot MT.\) hay \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MTI\) có \(\widehat C\) chung; \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\) (hai góc tương ứng).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đổi 27 phút \( = \frac{9}{{20}}\) (giờ).
Sau 1 giờ hai xe gặp nhau nên tổng vận tốc của hai xe bằng \(90\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\)
Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\) là vận tốc cùa \({\rm{xe}}\) thứ nhất \(\left( {0 < x < 90} \right)\).
thì vận tốc của xe thứ hai là \[90 - x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\].
Thời gian của xe thứ nhất di từ \({\rm{A}}\) dến \({\rm{B}}\) là \(\frac{{90}}{x}\) (giờ).
Thời gian của xe thứ hai là \(\frac{{90}}{{90 - x}}\) (giờ).
Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{{90}}{x} - \frac{9}{{90 - x}} = \frac{9}{{20}}\).
\(\frac{{10}}{x} - \frac{1}{{90 - x}} = \frac{1}{{20}}\)
\({x^2} - 490x + 18\,\,000 = 0\)
\(x = 40\) (TMĐK) hoặc \(x = 450\) (loại).
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \[40\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}\]; vận tốc của xe thứ hai là \(50\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}{\rm{.}}\)
Lời giải
a) Gọi \(O\) là tâm đường tròn đường kính \(CM\).
Ta có \(DO = MO = CO\) hay \(DO = \frac{{MC}}{2}\).
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAM} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(I\).
Vì \(M\) là trực tâm của \(\Delta BIC\) nên \(IM\) là đường cao thứ ba, suy ra \(IM \bot BC\).
Do đó \(IM\) và \(IN\) phải trùng nhau hay ba điểm \(I,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.
Vậy các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm \(I\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập