Cho phương trình \[{x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2\] trong đó ${x_1},\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \[a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - m\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = 2m - 3.\]

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ khi và chỉ khi

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{\left( { - m} \right)^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0\end{array} \right.\]

Khi đó \[{m^2} - 2m + 3 \ge 0\]

\[{m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0\]

\[{\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\] (luôn đúng vì \[{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0{\kern 1pt} \] với mọi \[m\])

Theo hệ thức Viète, ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2m{\kern 1pt} ;\,{x_1}{x_2} = 2m - 3\]

Do đó \[A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right)\]

\[ = 4{m^2} - 4m + 6 = 4{m^2} - 4m + 1 + 5\]

\[ = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 5 \ge 5\] (luôn đúng vì \[{\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0\])

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \[2m - 1 = 0\] hay \[m = \frac{1}{2}\].

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Quãng đường ${\rm{AB}}$ dài $90{\rm{\;km}}$, có hai ô tô khởi hành cùng một lúc. Ô tô thứ nhất đi từ A đến ${\rm{B}}$ ô tô thứ hai đi từ ${\rm{B}}$ đến ${\rm{A}}$. Sau \[1\] giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi. Xe ô tô thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là \[27\] phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Xem đáp án

Lời giải

Đổi 27 phút $ = \frac{9}{{20}}$ (giờ).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau nên tổng vận tốc của hai xe bằng $90\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.$

Gọi $x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)$ là vận tốc cùa ${\rm{xe}}$ thứ nhất $\left( {0 < x < 90} \right)$.

thì vận tốc của xe thứ hai là \[90 - x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\].

Thời gian của xe thứ nhất di từ ${\rm{A}}$ dến ${\rm{B}}$ là $\frac{{90}}{x}$ (giờ).

Thời gian của xe thứ hai là $\frac{{90}}{{90 - x}}$ (giờ).

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{{90}}{x} - \frac{9}{{90 - x}} = \frac{9}{{20}}$.

$\frac{{10}}{x} - \frac{1}{{90 - x}} = \frac{1}{{20}}$

${x^2} - 490x + 18\,\,000 = 0$

$x = 40$ (TMĐK) hoặc $x = 450$ (loại).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \[40\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}\]; vận tốc của xe thứ hai là $50\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}{\rm{.}}$

Câu 2

Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đoạn $AC$, đường tròn đường kính $CM$ cắt hai đường thẳng $BM$ và $BC$ lần lượt tại $D$ và $N$. Chứng minh rằng:

(a) Tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

(b) Các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đoạn $AC$, đường tròn đường kính $CM$ cắt hai đường thẳng $BM$ và $BC$ lần lượt tại $D$ và $N$. (ảnh 1)$

a) Gọi $O$ là tâm đường tròn đường kính $CM$.

Ta có $DO = MO = CO$ hay $DO = \frac{{MC}}{2}$.

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat {BAM} = \widehat {BDC} = 90^\circ $ nên bốn điểm $A,\,B,\,C,\,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $BC$ hay tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là $I$.

Vì $M$ là trực tâm của $\Delta BIC$ nên $IM$ là đường cao thứ ba, suy ra $IM \bot BC$.

Do đó $IM$ và $IN$ phải trùng nhau hay ba điểm $I,\,\,M,\,\,N$ thẳng hàng.

Vậy các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm $I$.

Câu 3