(a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a.$

(b) Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $MNP$. Tính bán kính của $(O)$, biết rằng $\Delta MNP$ vuông cân tại $M$ và có cạnh bằng $2\sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi $O$ là giao điểm của ba đường trung trực của tamgiác đều $ABC$ thì $O$ đồng thời là trọng tâm và trực tâm của tam giác.

$(a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a.$ (b) Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $MNP$. Tính bán kính của $(O)$, (ảnh 1)$

Ta có $OA = OB = OC = \frac{2}{3}AH$ ($H$ là chân đường cao kẻ từ \[A).\]

Do đó, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC.$

Mặt khác, xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$.

Theo định lí Pythagore, ta có: $A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$

Suy ra $A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}$ nên $AH = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó $AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ (tính chất trọng tâm).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $MNP$ vuông cân tại $M,$ ta có:

$(a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a.$ (b) Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $MNP$. Tính bán kính của $(O)$, (ảnh 2)$

$N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 16$, suy ra \[NP = 4\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có độ dài bằng nửa cạnh huyền $NP$ tức là $2\,\,{\rm{cm}}$.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Quãng đường ${\rm{AB}}$ dài $90{\rm{\;km}}$, có hai ô tô khởi hành cùng một lúc. Ô tô thứ nhất đi từ A đến ${\rm{B}}$ ô tô thứ hai đi từ ${\rm{B}}$ đến ${\rm{A}}$. Sau \[1\] giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi. Xe ô tô thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là \[27\] phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Xem đáp án

Lời giải

Đổi 27 phút $ = \frac{9}{{20}}$ (giờ).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau nên tổng vận tốc của hai xe bằng $90\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.$

Gọi $x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)$ là vận tốc cùa ${\rm{xe}}$ thứ nhất $\left( {0 < x < 90} \right)$.

thì vận tốc của xe thứ hai là \[90 - x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\].

Thời gian của xe thứ nhất di từ ${\rm{A}}$ dến ${\rm{B}}$ là $\frac{{90}}{x}$ (giờ).

Thời gian của xe thứ hai là $\frac{{90}}{{90 - x}}$ (giờ).

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{{90}}{x} - \frac{9}{{90 - x}} = \frac{9}{{20}}$.

$\frac{{10}}{x} - \frac{1}{{90 - x}} = \frac{1}{{20}}$

${x^2} - 490x + 18\,\,000 = 0$

$x = 40$ (TMĐK) hoặc $x = 450$ (loại).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \[40\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}\]; vận tốc của xe thứ hai là $50\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}{\rm{.}}$

Câu 2

Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đoạn $AC$, đường tròn đường kính $CM$ cắt hai đường thẳng $BM$ và $BC$ lần lượt tại $D$ và $N$. Chứng minh rằng:

(a) Tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

(b) Các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đoạn $AC$, đường tròn đường kính $CM$ cắt hai đường thẳng $BM$ và $BC$ lần lượt tại $D$ và $N$. (ảnh 1)$

a) Gọi $O$ là tâm đường tròn đường kính $CM$.

Ta có $DO = MO = CO$ hay $DO = \frac{{MC}}{2}$.

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat {BAM} = \widehat {BDC} = 90^\circ $ nên bốn điểm $A,\,B,\,C,\,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $BC$ hay tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là $I$.

Vì $M$ là trực tâm của $\Delta BIC$ nên $IM$ là đường cao thứ ba, suy ra $IM \bot BC$.

Do đó $IM$ và $IN$ phải trùng nhau hay ba điểm $I,\,\,M,\,\,N$ thẳng hàng.

Vậy các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm $I$.

Câu 3