Cho đường tròn tâm \(O\) có bán kính \(R\, = \,5\,\,{\rm{cm}}\).

(a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong \(\left( O \right)\).

(b) Một hình chữ nhật nội tiếp trong \(\left( O \right)\) có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.

a) Gọi hình vuông nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O\,;\,5\,{\rm{cm}}} \right)\) là \(ABCD\)

Ta có \(AC\, = \,2R\, = \,2 \cdot \,5\, = \,10\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là cạnh hình vuông.

Theo định lí Pythagore, ta có: \({x^2}\, + \,{x^2}\, = \,A{C^2}\) hay \(2{x^2}\, = \,{10^2}.\)

Suy ra \({x^2}\, = \,50\) nên \(x\, = \,\sqrt {50} \, = \,5\sqrt 2 \).

Vậy cạnh hình vuông nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O\,;\,\,\,5\,\,{\rm{cm}}} \right)\) bằng \(5\sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}.\)

b) Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) \(\left( {a\, > \,b\, > \,0} \right).\)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: \(a\, + \,b\, = 14\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Theo định lí Pythagore, ta có:

\({a^2}\, + \,{b^2}\, = \,A{C^2}\) hay \({a^2}\, + \,{b^2}\, = \,{10^2} = \,100\).

Theo bài ra, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,a\, + b\, = \,14\\{a^2}\, + \,{b^2}\, = \,100.\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất, ta có \(b\, = \,14\, - \,a\).

Thế \(b\, = \,14\, - \,a\) vào phương trình thứ hai, ta có:

\({a^2}\, + \,{\left( {14\, - \,a} \right)^2}\, = \,100\)

\({a^2}\, + \,\left( {196\, - \,28a\, + {a^2}} \right) = \,100\)

\({a^2}\, - \,14a\, + \,48\, = \,0\)

\(a = 8\) hoặc \(a\, = 6\)

• Với \(a = 8\) thì \(b\, = 6\) (TMĐK).

• Với \(a\, = 6\) thì \(b = 8\) (loại vì \(a\, > \,b\)).

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là \(8\,\,{\rm{cm}}\) và chiều rộng là \(6\,\,{\rm{cm}}\).