Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x.sin 2x.sin 3x = \(\frac{1}{2}\)sin4x.

Lời giải:

sin x.sin 2x.sin 3x = \(\frac{1}{2}\)sin 4x

Û (sin x.sin 3x).sin 2x = sin 2xcos 2x

Û\(\frac{1}{2}\)(cos 2x – cos 4x)sin 2x = sin 2xcos 2x

Û 2 sin 2xcos 2x + (cos 4x – cos 2x)sin2x = 0

Û sin2x(2cos 2x + cos 4x – cos 2x) = 0

Û sin2x(cos 2x + cos 4x) = 0

Û sin2x.cos 3x. cos x = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2{\rm{x}} = 0\\\cos 3{\rm{x}} = 0\\\cos {\rm{x}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = {\rm{k\pi }}\\{\rm{3x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{k\pi }}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{k\pi }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{{{\rm{k\pi }}}}{2}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{6} + \frac{{{\rm{k\pi }}}}{3}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{k\pi }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{{{\rm{k\pi }}}}{2}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{6} + \frac{{{\rm{k\pi }}}}{3}\end{array} \right.\;\,\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\).

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm \({\rm{x}} = \frac{{{\rm{k\pi }}}}{2}\) là \({\rm{x}} = - \frac{{\rm{\pi }}}{2}\).

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm \({\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{6} + \frac{{{\rm{k\pi }}}}{3}\) là \({\rm{x}} = - \frac{{\rm{\pi }}}{6}\).

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \({\rm{x}} = - \frac{{\rm{\pi }}}{6}\).