Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {{\rm{AM}}} + \overrightarrow {{\rm{BN}}} + \overrightarrow {{\rm{CP}}} = \overrightarrow 0 \).

b) \(\overrightarrow {{\rm{AP}}} + \overrightarrow {{\rm{BM}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{AC}}} \).

Lời giải:

Ta có: (sin α + sin β)²\( = \frac{1}{2}\)Ûsin² α + sin² β + 2sin α.sin β \( = \frac{1}{2}\).

(cos α + cos β)²\( = \frac{3}{2}\)Ûcos² α + cos² β + 2cos α.cos β \( = \frac{3}{2}\).

Cộng vế với vế, ta được:

sin² α + sin² β + 2sin α.sin β + cos² α + cos² β + 2cos α.cos β = 2

Û2cos (α – β) = 0

Ûcos (α – β) = 0.

Ta có: (sin α + sin β)(cos α + cos β)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û (sin α. cos α + sin β. cos β) + (sin α. cos β + sin β. cos α) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û sin (α + β). cos (α – β) + sin (α + β) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û sin (α + β) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải:

Ta có y’ = –x² – 4x + m.

Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi y’ ≤ 0 với mọi x Î \(\mathbb{R}\).

Û–x² – 4x + m ≤ 0 \(\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R}\)

 Û16 + 4m ≤ 0 Û m ≤ –4.

Vậy với m Î (–¥; –4] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.