Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\) là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có

\[\begin{array}{l}4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}\log _2^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)^2} - {\log _2}x + 1 \le 0\end{array}\].

Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được: \[2{\left( {t - 1} \right)^2} - t + 1 \le 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 3 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le \frac{3}{2}\].

Suy ra \[1 \le {\log _2}x \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 \le x \le {2^{\frac{3}{2}}}\].

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên \(x = 2\).