Chuyển động của một vật có phương trình \(s(t) = \sin \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\), ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).

a) Có \(a\left( 3 \right) =  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) =  - 16{\pi ^2}\).

b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) = 4\pi \).

c) \(v\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 1\) nên \(v\left( t \right) \le 4\pi \sqrt 2 \). Suy ra vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) (cm/s).

 d) Vì \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2  \le  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) nên gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) .

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có \(f'\left( x \right) = \cos x - 2\sin 2x\);

b) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0;4} \right)\) có hệ số góc là \(k = y'\left( 0 \right) = \cos 0 - 2\sin 0 = 1\).

Phương trình tiếp tuyến là: \(y = x + 4\).

c) Có \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 2\sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 4\sin x\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 4\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \\x = \pi  - \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \end{array} \right.\).

Với \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2};x = \frac{{3\pi }}{2};x = \arcsin \frac{1}{4};x = \pi  - \arcsin \frac{1}{4}\).

d) \[f'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - 2\sin \left( { - 2.\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2\].