Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x + 3\)  có đồ thị \(\left( C \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có \(f'\left( x \right) = \cos x - 2\sin 2x\);

b) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0;4} \right)\) có hệ số góc là \(k = y'\left( 0 \right) = \cos 0 - 2\sin 0 = 1\).

Phương trình tiếp tuyến là: \(y = x + 4\).

c) Có \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 2\sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 4\sin x\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 4\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \\x = \pi  - \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \end{array} \right.\).

Với \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2};x = \frac{{3\pi }}{2};x = \arcsin \frac{1}{4};x = \pi  - \arcsin \frac{1}{4}\).

d) \[f'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - 2\sin \left( { - 2.\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2\].