Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).

a) Có \(a\left( 3 \right) =  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) =  - 16{\pi ^2}\).

b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) = 4\pi \).

c) \(v\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 1\) nên \(v\left( t \right) \le 4\pi \sqrt 2 \). Suy ra vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) (cm/s).

 d) Vì \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2  \le  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) nên gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(D\) và \({x_0} \in D\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại \({x_0}\)

Vậy kết quả của biểu thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = f'\left( 6 \right) = 2.\)