Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln x - \ln \left( {x + 1} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).

Vậy hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

c) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\) nên \(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow 6\left( {x + 1} \right) - 6x = x\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 3\).

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là \( - 1\).

d) \(P = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2023} \right) + f'\left( {2024} \right)\)

\( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}}\)

\( = 1 - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}\).